Stochastische Simulation

Bei der stochastischen Simulation werden Unsicherheiten über den Verlauf der Eingangsgrößen durch Zufallsereignisse und deren Verteilung abgebildet. Es ist also keineswegs möglich, aus der Kenntnis der vorgehenden Zustände eindeutig und exakt den Folgezustand zu bestimmen. Es können vielmehr verschiedene Folgezustände eintreten.

Da dieses Konzept der Modellierung von Unsicherheiten den realen Verhältnissen näher kommt, spielt die stochastische Simulation die herausragende Rolle.

Überblick

Eigenschaften von Zufallszahlen:

Die Zahlen sind voneinander und von anderen Faktoren unabhängig.

Bei gleichverteilten Zufallszahlen ist die Wahrscheinlichkeit des Auftretens jeder 2. Zahl und jeder Zahlenkombination gleich, d.h. der Wert der einen Zahl darf den Wert der nächsten Zahl nicht beeinflussen.

Eine Folge von Zufallszahlen soll reproduzierbar sein, um Simulationsexperimente wiederholen zu können. Andererseits soll sich die Folge für jede beliebige Länge nicht wiederholen, d.h. in der Praxis, daß der Wiederholungszyklus sehr lang sein soll.

(Grundsätzlich werden nur gleichverteilte Zufallszahlen generiert und danach zu anderen Verteilungen konvertiert. Es werden ausschließlich Zahlen aus dem Intervall [0,1] erzeugt und dann auf andere Bereiche umgerechnet.)

Einsatzbereiche von Zufallszahlen:

Einsatzbereiche:

Die Einsatzbereiche von Zufallszahlen lassen sich grundsätzlich nach den Problemtypen einteilen, zu deren Lösung sie eingesetzt werden:

Repräsentationsuntersuchungen:
Untersuchung einer Grundgesamtheit mit Hilfe einer ausgelosten Stichprobe. Die Stichprobe ist also anhand von Zufallszahlen generiert. Als Beispiel kann man Qualitätskontrolle oder Volksbefragung nennen.

Simulationsprobleme:
Probleme, die mit der Untersuchung verschiedener technischer, ökonomischer oder naturwissenschaftlicher Erscheinungen und Prozesse mit Hilfe einer Simulation (Modellierung) auf Digitalrechnern verbunden sind. Mit Hilfe von Zufallszahlen kann man die Einflüsse verschiedener zufälliger Faktoren modellieren.

Komplizierte numerische Probleme:
Numerische Probleme, die mit klassischen Methoden nicht mehr zu lösen sind, kann man mit Hilfe der Monte-Carlo-Methode lösen. Das zu lösende Problem wird durch ein Problem aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung ersetzt - daher Zufallszahlen.

Physikalische Generatoren:

Einfache mechanische Generatoren:
z. B. Würfelspiel, Roulette, Münzwurf, Lostrommel Diese Generatoren haben nur geringe praktische Bedeutung. Bei großem Stichprobenumfang kann man sie nicht verwenden.

Computergestützte Generatoren:
Es besteht die Möglichkeit der Kopplung geeigneter physikalischer Generatoren an einen Digitalrechner. Grundsätzlich unterteilt man 4 Typen solcher Generatoren:

Messung von Zuständen bistabiler Schaltkreise Basiert auf den zufälligen Zuständen von bistabilen Schaltkreisen beim regelmäßigen Ein- und Ausschalten, da diese Schaltkreise beim Einschalten zufällig entweder den Zustand "0" oder "1" annehmen. 

Messung von periodisch auftretenden Werten in zufälligen Intervallen
Basiert auf den Messungen von periodisch auftretenden Werten in zufälligen Zeitintervallen. Dabei entsteht natürlich das Problem der Auswahl der zufälligen Intervalle, wozu man eigentlich wieder Zufallszahlen benötigt. Daher ist diese Methode auch von kleiner praktischer Bedeutung.

Messung von zufälligen Werten über eine bestimmte Zeitperiode
Messungen von zufälligen Werten über eine bestimmte Zeitperiode. Beispiel der praktischen Realisierung: In der Nähe einer Strahlungsquelle wird ein Strahlungszähler angebracht. Die von ihm in aufeinander folgenden Zeitintervallen konstanter Länge registrierte Anzahl von Teilchen werden als Realisierungen einer gewissen Zufallsgröße betrachtet.

Quantifizierung einer kontinuierlichen Geräuschquelle
Zwei-Level Quantifizierung einer kontinuierlichen Geräuschquelle.
Ein White-Noise-Generator produziert Signale von zufälliger Höhe. Dieses wird in bestimmten (kurzen) Zeitabständen gemessen und es wird überprüft, ob es über oder unter einem bestimmten Wert liegt. Daher erhält man entweder "1" oder "0". Bei schnellen Messungen erhält man die Zufallszahlen direkt in binärer Form. Leider ist die Güte sehr vom WN-Generator abhängig.

Davon sind die beiden letzten Methoden zur Konstruktion von schnellen und qualitativ guten Generatoren von Bedeutung. Leider ist die 3. Methode langsam und die 4. von der Geräuschquelle abhängig.

Fehlende Wiederholbarkeit
Die Zahlenfolgen sind absolut einmalig, was dazu führt, daß man eine Simulation (Experiment) nicht wiederholen kann. Das ist ärgerlich, wenn man besonders interessante oder unerwartete Ergebnisse erzeugt hat.

Niedrige Geschwindigkeit
Die Geschwindigkeit physikalischer Generatoren ist oft durch die benutzte Gerätezahl beschränkt. Zusätzliche Verzögerungen entstehen auch bei der Konvertierung von analogen Signalen in binäre Zahlen.

Unerwünschte Einflüsse
Die physikalischen Generatoren reagieren auf störende Einflüsse (wie z.B. Stromversorgung). Es ist fast unmöglich, alle Einflüsse abzuschirmen.

Schwieriges Testen
Dadurch, daß die Zahlen immer neu generiert werden, ist es unmöglich, theoretisch ihre Güte zu beurteilen. Sie muß ständig neu überprüft werden. 

Komplexität der Hardware
Die Geräte die gebraucht werden, sind oft sehr kompliziert und daher teuer und fehleranfällig. Sie können nur von Spezialisten bedient werden.

Heterogenität der Hardware Es werden analoge Geräte zur Erhebung von Signalen benutzt. Danach werden die Signale in die digitale Form konvertiert, was sowohl zu Zeitverlusten als auch zu Störungen führen kann.

Eigenschaften von Pseudozufallszahlen:

Pseudozufallszahlen werden durch mathematische Algorithmen generiert. Sie sollen sich wie "echte" Zufallszahlen verhalten und die bei den physikalischen Generatoren auftretenden Probleme vermeiden. Auch die vom Zufallsgenerator dieses Computers erzeugten Zahlen sind Pseudozufallszahlen.

Vorteile von Pseudozufallszahlen Nachteile von Pseudozufallszahlen
 
  • Schnell zu generieren
  • Volle Wiederholbarkeit
  • Keine externen Einflüsse
  • Günstige Hardware
  • Homogene Hardware
  • Testen im Voraus möglich
 
 
  • Abhängigkeit von Startwerten 
  • Perioden 
  • Je nach Art des verwendeten Generators sehr unterschiedliche Güte der erzeugten Zahlenfolgen